Definicija i konstrukcija
Pravilan šesterokut je planarna figura, koja ima šest strana jednake duljine i jednakih kutova.
Ako se prisjetimo formule za zbroj kutova poligona
180 ° (n-2),
ispada da je na toj slici 720 °. Budući da su svi kutovi figure jednaki, lako je izračunati da je svaki od njih jednak 120 °.
Nacrtati šesterokut je vrlo jednostavna, za to je dovoljno kompasa i vladara.
Upute za korak po korak izgledat će ovako:
crta se ravna crta i na nju se stavlja točka;- iz ove se točke konstruira krug (to je njegovo središte);
- dva više od istog izgrađena su od presjeka kruga s linijom, moraju se približiti u sredini.
- nakon toga, sve točke na prvom krugu spojene su serijski po segmentima.
Ako želite, možete učiniti bez linije crtanjem pet jednakih krugova duž radijusa.
Tako dobiveni broj će biti pravilan šesterokut, a to se može dokazati niže.
Svojstva su jednostavna i zanimljiva.
Da bismo razumjeli svojstva regularnog šesterokuta, ima smisla podijeliti ga na šest trokuta:
To će pomoći u daljnjem vizualiziranju njegovih svojstava, od kojih su glavna:
- promjer opisne kružnice;
- promjer upisane kružnice;
- područje;
- perimetra.
Opisana kružnica i mogućnost konstruiranja
Možete opisati krug oko šesterokuta, štoviše, samo jedan. Budući da je ta brojka točna, to se može učiniti vrlo jednostavno: iz dva susjedna ugla, držite unutar simetrale. Presijecaju se u točki O i tvore trokut zajedno sa stranom između njih.
Kutovi između šesterokutne strane i simetrala će biti 60 ° svaki, tako da definitivno možete reći da je trokut, na primjer, AOB jednakostran. Budući da će i treći kut biti jednak 60 °, također je jednakostraničan. Iz toga slijedi da su segmenti OA i OB jednaki, što znači da mogu poslužiti kao radijus kruga.
Nakon toga možete otići na sljedeću stranu, a iz ugla u točki C nacrtati simetrala. Dobit ćete drugi jednakostraničan trokut, a strana AB će biti zajednička za dva odjednom, a OS će biti još jedan radijus kroz koji ide isti krug. Sveukupno će biti šest takvih trokuta, i oni će imati zajedničku točku u točki O. Ispada da će biti moguće opisati krug, a to je samo jedan, a njegov radijus jednak je šesterokutnoj strani:
R = a .
Zato je tu figuru moguće izgraditi pomoću kompasa i ravnala.
Pa, područje ovog kruga bit će standardno:
S = πR²
Upisana kružnica
Središte opisne kružnice poklopit će se sa središtem upisane. Da biste to potvrdili, možete nacrtati okomice od točke O do strana šesterokuta. Oni će biti visine trokuta koji čine šesterokut. A u jednakokračnom trokutu, visina je srednja strana strane na kojoj se nalazi. Dakle, ta visina nije ništa drugo do srednja okomica, koja je radijus upisane kružnice.
Visina jednakostraničnog trokuta jednostavno se izračunava:
h² = a²- (a / 2) ² = a²3 / 4, h = a ()3) / 2
A budući da R = a i r = h, ispada da
r = R (± 3) / 2 .
Tako upisana kružnica prolazi kroz središta strana pravilnog šesterokuta.
Područje će biti:
S = 3πa² / 4,
to jest, tri četvrtine opisanog.
Perimetar i područje
Iz perimetra je sve jasno, to je zbroj duljina stranica:
P = 6a, ili P = 6R
No, područje će biti jednako zbroju svih šest trokuta u koje se može podijeliti šesterokut. Budući da se površina trokuta izračunava kao polovica proizvoda baze po visini, tada:
S = 6 (a / 2) (a ()3) / 2) = 6a² ()3) / 4 = 3a² ()3) / 2 ili
S = 3R2 ()3) / 2
Oni koji žele izračunati ovo područje preko radijusa upisane kružnice mogu se obaviti na sljedeći način:
S = 3 (2r / )3) ² ()3) / 2 = r² (2√3)
Zabavna gradnja
Trokut se može upisati u heksadecimalni broj, čije stranice će povezati vrhove kroz jedno:
Ukupno će ih biti dvoje, a njihovo nametanje jedni drugima dat će Davidovu zvijezdu. Svaki od tih trokuta je jednakostraničan. To nije teško provjeriti. Ako pogledate stranu AU, onda ona pripada dva trokuta odjednom - VAS i AES. Ako je u prvom od njih AB = BC, a kut između njih je 120 °, onda će svaki od ostatka biti 30 °. Odavde možete donijeti logične zaključke:
- Visina ABC iz točke B bit će jednaka polovici strane šesterokuta, budući da sin30 ° = 1/2. Onima koji se žele uvjeriti u to, može se savjetovati da se preračunaju prema Pitagorinom teoremu, savršeno se uklapaju ovdje.
- Strana AC bit će jednaka dva polumjera upisane kružnice, što se ponovno izračunava istim teoremom. To jest, AC = 2 (a ()3) / 2) = a ()3).
- Trokuti ABC, ETS i AEF jednaki su na obje strane i kut između njih, što podrazumijeva jednakost strana AC, CE i EA.
Prekrižući se jedan s drugim, trokuti oblikuju novi hex, i to je također točno. Jednostavno se dokazuje:
Kut ABF jednak je kutu YOU. Dakle, rezultirajući trokut s bazom AB i bezimenim vrhom nasuprot njemu je jednakokračan.- Svi isti trokuti, čija je osnova strana šesterokuta, jednaki su na bokovima i na uglovima koji se nalaze uz njega.
- Trokuti na vrhovima šesterokuta su jednakostranični i jednaki, što slijedi iz prethodnog odlomka.
- Kutovi novoformiranog šesterokuta su 360-120-60-60 = 120 °.
Dakle, lik ispunjava karakteristike pravilnog šesterokuta - ima šest jednakih strana i kutova. Iz jednakosti trokuta na vrhovima, lako je izvući duljinu strane novog šesterokuta:
d = a ()3) / 3
To će biti radijus opsega opisan oko njega. Polumjer upisanog će biti pola veličine velike šesterokuta, što je dokazano kada se razmatra trokut ABC. Njegova visina je samo pola strane, dakle druga polovica je polumjer kruga ispisan u malom šesterokutu:
r₂ = a / 2
Površina novog šesterokuta može se izračunati na sljedeći način:
S = (3 ()3) / 2) (a ()3) / 3) ² = a ()3) / 2
Ispada da je površina šesterokuta unutar Davidove zvijezde tri puta manja od površine velikog, u kojoj je zvijezda upisana.
Od teorije do prakse
Svojstva šesterokuta se vrlo aktivno koriste kako u prirodi tako iu različitim područjima ljudske aktivnosti. Prije svega, to se odnosi na vijke i matice - kapice prvog i drugog su ništa više od običnog šesterokuta, ako ne uzmete u obzir posjekotine. Veličina ključeva odgovara promjeru upisane kružnice - to jest, udaljenosti između suprotnih lica.
Šesterokutna pločica je također pronašla svoju uporabu. Mnogo je rasprostranjenije nego četverokutno, ali je prikladnije položiti ga: u jednom trenutku susreću se tri pločice, a ne četiri. Kompozicije mogu biti vrlo zanimljive:
Dostupne su i betonske pločice za popločavanje.
Prevalencija šesterokuta u prirodi je jednostavno objašnjena. Dakle, najlakši način da se čvrsto uklopiti krugovima i kuglicama u ravnini, ako imaju isti promjer. Zbog toga, saće imaju takav oblik.